확률 밀도 함수(PDF)에 대한 공부

April 26, 2023 1 분 소요

1. 확률 밀도 함수란?

확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)는 확률 변수(random variable)의 분포를 나타내는 함수로 특정 구간에 속하는 확률을 계산할 수 있습니다. 확률 밀도 함수는 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

모든 구간에서의 적분 값은 1입니다. 즉, 확률 밀도 함수 전체 구간에서의 면적(적분 값)은 1입니다.
확률 밀도 함수를 이용하여 구간 내에서 확률을 계산할 수 있습니다. 구간 [a, b]에서의 확률은 확률 밀도 함수 f(x)를 적분한 값으로 계산합니다. (P(a ≤ X ≤ b) = ∫a^b f(x)dx)
확률 밀도 함수는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 확률이 음수가 될 수 없으므로 확률 밀도 함수의 값은 항상 0 이상이여야 합니다.
확률 밀도 함수의 값이 크다고 해서 해당 지점에서 확률이 높다는 것은 아닙니다. 확률 밀도 함수의 값은 해당 지점에서의 기울기를 나타내는 것이며, 실제 확률은 해당 지점에서의 면적으로 계산됩니다.

확률 밀도 함수는 다양한 분야에서 사용됩니다.

통계학: 확률 밀도 함수는 확률 분포의 형태를 나타내므로, 확률 변수의 확률 분포를 분석하는 통계적 방법에 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 정규분포의 확률 밀도 함수는 자연 현상에서 나타나는 수많은 현상을 모델링하는데 사용됩니다.
금융: 금융 분야에서 확률 밀도 함수를 이용하여 자산 가격의 변동성을 예측하고, 투자 전략을 수립하는 등의 결정에 활용됩니다.
공학: 공학 분야에서 확률 밀도 함수를 사용하여 시스템의 신뢰성을 분석하고 장애와 고장의 발생 가능성을 예측하는 등의 기술에 사용됩니다.
인공지능: 인공지능 분야에서는 확률 밀도 함수를 이용하여 머신러닝 알고리즘의 성능을 평가하고, 예측 모델의 정확도를 개선하는 등에 사용됩니다.
자연과학: 자연과학 분야에서는 확률 밀도 함수를 이용하여 실험 결과의 통계적 분석을 수행하고, 현상을 모델링하는데 사용됩니다.

통계학에서 확률 밀도 함수는 다음과 같은 상황에 사용합니다.

확률 분포의 모양 이해: 확률 밀도 함수는 확률 분포의 모양을 확인하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 정규분포의 확률 밀도 함수는 종 모양으로 대부분의 자연 현상에서 나타납니다.
확률 분포의 특성 파악: 확률 밀도 함수를 이용하여 확률 분포의 특성을 파악할 수 있습니다. 예를 들어, 정규분포의 확률 밀도 함수는 평균과 표준편차에 따라 변화하므로, 평균과 표준편차를 이용해 분포의 특성을 파악할 수 있습니다.
확률 변수의 확률 계산: 확률 밀도 함수를 이용하여 확률 변수의 확률을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 정규분포의 확률 밀도 함수를 이용하여 특정 구간에서의 확률을 계산할 수 있습니다.
확률 변수의 분포 비교: 두 개 이상의 확률 변수의 분포를 비교할 수 있습니다. 예를 들어, 두 개의 정규분포의 확률 밀도 함수를 비교하여 분포의 차이를 파악할 수 있습니다.
모델의 적합성 검정: 모델의 적합성을 검정할 때 확률 밀도 함수가 사용됩니다. 예를 들어, 모델이 추정한 확률 분포와 실제 분포의 차이를 검정하기 위해서 확률 밀도 함수를 이용하여 분포를 비교합니다.