Sukyung Jang

Future Data Analyst

9 분 소요

시계열 플롯 탐색: 초보자 가이드

This notebook is an introductory notebook for visualizing and understanding different plots in time series data.

이 노트북은 시계열 데이터의 다양한 그림을 시각화하고 이해하기 위한 입문 노트북입니다.

Imports

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

RANDOM_SEED = 12
time = np.arrange(5 * 365 + 1) # 5 years
  • np.arange() 함수는 일정한 간격으로 배열을 생성하는 함수입니다. 하루 간격으로 5년의 시간을 나타냅니다.
  • 이 코드는 5년간의 일일 시간 데이터를 생성하는 것입니다.

Trend

def plot_series(time, series, format = "-", start = 0, end = None, label = None, color = None):
	plt.plot(time[start:end], series[start:end], format, label = label, color = color)
	plt.xlabel("Time")
	plt.ylabel("Value")
	if label:
		plt.legend(fontsize = 14)
	plt.grid(True)
  • 이 코드는 시간 데이터(time)와 해당 시간에 따른 값을 나타내는 데이터(series)를 입력받아 그래프를 출력하는 함수입니다.
  • plt.plot()함수를 사용해 그래프를 그리고, 함수 인자로 받은 format, label, color 등을 설정합니다.
  • start와 end 인자로 지정된 범위 내의 데이터만 그래프로 출력하며, xlabel과 ylabel 함수를 사용하여 x, y축의 레이블을 설정합니다.
  • label 인자가 입력된 경우, plt.legend()함수를 사용하여 범례를 생성합니다.
  • plt.grid()함수를 사용하여 그래프에 격자를 추가합니다.
def trend(time, slope = 0):
	return slope * time
  • 이 코드는 시간 데이터(time)와 경사도(slope)를 입력으로 받아 해당 시간에 대한 경사도 값을 계산하는 함수입니다.
  • trend 함수는 입력된 경사도(slope)와 시간(time)을 곱한 결과를 반환합니다.
  • 이 함수는 시계열 데이터의 경향성(trend)을 모델링하기 위해 사용될 수 있습니다.
  • 경사도가 양수인 경우, 시간이 지남에 따라 값이 증가하는 경향을 나타내고, 음수인 경우에는 값이 감소하는 경향을 나타냅니다.
  • 경사도가 0이면, 시간에 따른 값의 변화가 없는 경우를 나타냅니다.

Trend Plot 1

slope = 0.1
series = trend(time, slope)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(Time, series, color = "purple")
plt.title("Trend Plot - 1", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide

  • 이 코드는 시간(time)과 경사도(slope)값을 이용하여 경향성(trend)이 있는 데이터를 생성하고 시각화합니다.
  • 경사도(slope)는 0.1로 설정되어 있습니다. 그 다음으로, trend 함수를 이용하여 시간(time)에 대한 경향성이 포함된 데이터를 생성하고 이를 series 변수에 저장합니다.

Trend Plot 2

slope = -1
series = trend(time, slope)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time, series, color = "purple")
plt.title("Trend Plot - 2", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide1

  • 위 코드는 slope를 음수(-1)로 설정하여 time에 대한 시간의 경과에 따른 series의 값이 감소하는 선형적인 추세(trend)를 생성하는 코드입니다.
  • slope가 음수로 설정되어 있기 때문에 시간의 경과에 따라 series의 값이 감소하는 추세가 나타납니다.

Seasonality

def seasonal_pattern(season_time):
	return np.where(season_time < 0.45,
									np.cos(season_time * 2 * np.pi),
									1 / np.exp(3 * season_time))
  • seasonal_pattern은 계절성을 생성하기 위해 사용되는 함수입니다. np.where() 함수를 사용하여 season_time 값이 0.45보다 작으면 코사인 함수에 따라 계절성 값을 생성하고, 그렇지 않으면 지수 함수에 따라 계절성 값을 생성합니다.
  • season_time : 0과 1 사이의 값을 가지는 시간 값으로, 계절성이 변하는 주기를 나타냅니다. 계절성이 1년 주기를 가진다면, ‘season_time’ 값은 0부터 1까지 1년 간의 시간을 나타내며, 값이 커질수록 해당 계절의 끝에 가까워집니다.
  • np.cos(season_time * 2 * np.pi) : ‘season_time’값이 0.45보다 작을 경우, 0과 1 사이의 값을 가지는 코사인 함수를 통해 계절성 값을 생성합니다. 이 때, ‘np.pi’는 파이값을 나타내며, ‘2 * np.pi’는 360도(한 주기)를 라디안 값으로 나타낸 것입니다. 따라서, ‘season_time’값이 0이라면 코사인 함수 값은 1이 되고, ‘season_Time’값이 0.45에 가까워질수록 0으로 수렴합니다.
  • ‘1 / np.exp(3 * season_time) : ‘season_time’ 값이 0.45보다 큰 경우, 1보다 작은 값을 가지는 지수 함수를 통해 계절성 값을 생성합니다. 이 때, ‘np.exp()’ 함수는 지수 함수(e^x)를 계산하는 함수입니다. 따라서 ‘season_time’값이 0이라면 계절성 값은 1이 되고, 1에 가까워질수록 0으로 수렴합니다.
def seasonality(time, period, amplitude = 1, phase = 0):
	season_time = ((time + phase) % period) / period
	return amplitude * seasonal_pattern(season_time)
  • 이 함수는 계절성(seasonality)을 나타내기 위해 주어진 기간(period)과 진폭(amplitude)으로 이루어진 주기 함수를 생성하는 함수입니다.
  • ‘time’은 시간을 나타내는 데이터, ‘period’는 계절성 주기를 나타냅니다. 예를 들어, ‘period’가 365라면 1년 주기를 가지는 계절성을 의미합니다.
  • ‘phase’는 시간의 시작점을 나타내는데, 주어진 ‘time’에서 ‘phase’값을 더한 후 ‘period’로 나누어 계절성 패턴이 반복되는 위치를 계산합니다. 예를 들어, ‘phase’가 0이면 계절성 패턴은 ‘time’의 시작점에서부터 시작합니다. ‘phase’가 ‘period’보다 작은 값이면 계절성 패턴은 ‘time’시작점보다 앞으로 이동하며, ‘phase’가 ‘period’보다 큰 값이면 패턴은 ‘time’ 시작점보다 뒤로 이동합니다.
  • ‘season_time’은 주기적으로 반복된느 값을 생성하기 위해 계산된 변수입니다. ‘time’에서 ‘phase’를 더한 값의 ‘period’로 나누어서 0부터 1사이의 값으로 만듭니다. 이 값을 ‘seasonal_patter()’ 함수에 넣어서 계절성 패턴을 생성합니다.

Seasonality Plot 1

amplitude = 40
series = seasonality(time, period = 365, amplitude = amplitude, phase = 0)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time, series, color = "green")
plt.title("Seasonality Plot - 1"), fontdict = {'fontsize' : 20})
ptl.show()

Beginners-Guide2

  • 위 코드는 연간 주기(365일)을 가지는 계절성을 생성하고, 시간에 따라 주기적으로 변화하는 값을 계산하여 그래프로 시각화합니다.
  • ‘seasonality’ 함수는 입력된 ‘time’ 데이터를 연간 주기(365일)로 나누어 정규화한 값을 계산합니다. ‘amplitude’은 계절성 변화의 강도를 조절하며, ‘phase’는 계절성 그래프의 이동을 조절합니다.
  • 이렇게 계산된 계절성 값을 ‘series’ 변수에 저장하고, ‘plot_series’함수를 이용하여 시계열 데이터를 그래프로 출력합니다.

Seasonality Plot 2

amplitude = 100
series = seasonality(time, period = 90, amplitude = amplitude, phase = 25)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time, series, color = "green")
plt.title("Seasonality Plot - 2", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide3

  • 90일 주기를 갖는 계절성 변화를 보여주며, 진폭은 100으로 설정되었고, 시작 지점은 25일로 설정되었습니다.

Seasonality + Trend

Combined plot for seasonality and trend together

baseline = 10 # 기준선
slope = 0.08 # 경사도
amplitude = 40 # 진폭
series = baseline + trend(time, slope) + seasonality(time, period = 365, amplitude = amplitude)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time, series, color = "green")
plt.title("Seasonality + Trend Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide4

  • 위 코드는 baseline(기준선), slope(경사도), amplitude(진폭)을 설정하여 시간축에 대한 시계열 데이터(series)를 생성하고 이를 시각화한 코드입니다.
  • ‘baseline’은 시계열 데이터의 기준선을 나타냅니다. 즉, 데이터가 기준선을 중심으로 어떻게 분포되는지를 나타냅니다.
  • ‘slope’은 시계열데이터가 시간에 따라 어떻게 증가 또는 감소하는지를 나타냅니다.
  • ‘amplitude’은 주기성을 갖는 시계열 데이터의 진폭을 나타냅니다. ‘seasonality’ 함수를 이용해 특정 주기를 가지는 패턴을 생성하고 이에 진폭을 곱해 시계열 데이터를 생성합니다.
  • ‘series’는 기준선, 경사도, 주기성이 포함된 시계열 데이터를 나타냅니다.

Noise

def white_noise(time, noise_level = 1, seed = None):
	random = np.random.RandomState(seed)
	return random.random(len(time)) * noise_level
  • 주어진 시간 범위에서 주어진 크기의 백색 잡음을 생성합니다. 랜던 시드 값이 주어지면 결과는 재현 가능합니다.
  • ‘np.random.RandomState’ 클래스를 사용하여 랜덤 시드 값을 설정하고, ‘random.random’ 메소드를 사용하여 시간 범위와 동일한 길이의 랜덤한 값을 생성합니다. 생성된 값은 레벨 값으로 곱하여 레벨이나 크기를 조절합니다. 최종 결과는 시간과 함께 반환됩니다.

Noise Plot

noise_level = 10
noise = white_noise(time, noise_level, seed = RANDOM_SEED)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:200], noise[:200], color = "blue")
plt.title("Noise Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide5

  • 이 코드는 time 범위 내에 랜덤하게 생성된 백색 잡음을 반환하는 함수 white_noise()을 정의하고 있습니다. 함수는 입력값으로 time, noise_level, seed를 받습니다.
  • time은 시간을 의미하는 값으로, np.arange()를 사용하여 5년 간의 값을 생성하고 있습니다.
  • noise_level은 잡음의 크기를 조절하는 인자로, 기본값은 1입니다.
  • seed는 재현성을 위한 램덤 시드 값으로, 기본값은 None이며, seed값이 지정되지 않으면 랜덤값이 사용됩니다.
    • 재현성 : 실험에서 관측된 사상을 같은 조건하에서 재실험하여 확실하게 할 수 있을 때, 그 실험은 재현성이 있다고 한다.
  • 이 코드에서는 seed 값으로 RANDOM_SEED = 12를 사용하여 백색 잡음을 생성하고 있습니다. 생성된 잡음은 plot_series()함수를 사용하여 그래프로 시각화하고 있습니다. 200개의 데이터 포인트만 시각화되도록 slicing을 적용하고 있습니다.

Noise + Seasonality + Trend

Combined plot for noise, seasonality and trend together

series = baseline + trend(time, slope) + seasonality(time, period = 365, amplitude = amplitude)
series += white_noise(time, noise_level = 10, seed = RANDOM_SEED)
plt.figure(Figsize = (20, 6))
plot_series(time, series, color = "blue")
plt.title("Noise + Seasonality + Trend Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide6

  • 이 코드는 baseline, trend, seasonality, white noise을 생성하고 모두 합쳐서 시계열 데이터(series)를 만드는 코드입니다.

Autocorrelation

def autocorrelation_1(time, amplitude, seed = None):
	rnd = np.random.RandomState(seed)
	a1 = 0.5
	a2 = -0.1
	rnd_ar = rnd.randn(len(time) + 50)
	rnd_ar[:50] = 100
	for step in range(50, len(time) + 50)
		rnd_ar[step] += a1 * rnd_ar[step - 50]
		rnd_ar[step] += a2 * rnd_ar[step - 33]
	return rnd_ar[50:] * amplitude
  • 이 함수는 AR(2) 모형에 따라 시간에 따른 자기상관관계를 가지는 데이터를 생성하는 함수입니다.
  • AR(2) 모형은 두 개의 이전 시간 스텝의 데이터와 현재 시간 스텝의 잔차(residual)의 선형 조합으로 현재 시간 스텝의 값을 예측하는 모델입니다.
  • 이 함수에선 먼저 시간 스텝에 랜덤 잡음을 생성하고, 처음 50개의 값은 모두 100으로 설정합니다. 그리고 이후의 값들은 이전 50개의 값과 이전 33개의 값의 선형 조합에 랜덤 잡음을 더한 값으로 계산됩니다.
  • 이렇게 계산된 시계열 데이터는 ‘rnd_ar[50:]에 저장되어 반환합니다. 반환된 값은 ‘amplitude’에 곱해진 후 반환됩니다.
def autocorrelation_2(time, amplitude, seed = None):
	rnd = np.random.RandomState(seed)
	a1 = 0.8
	ar = rnd.randn(len(time) + 1)
	for step in range(1, len(time) + 1):
		ar[step] += a1 * ar[step - 1]
	return ar[1:] * amplitude
  • 시간(time), 진폭(amplitude), 시드값(seed)를 받아서 주어진 시간 길이에 대한 자기상관이 있는(autocorrelated) 랜덤 시계열 데이터를 생성하는 함수입니다.
  • 이 함수에서는 AR(1) 모형(autoregressive model of order 1)을 사용하여 랜덤 시계열 데이터를 생성합니다. AR(1)모형은 현재의 값이 이전 값에 의존하는 모형으로, 현재의 값은 이전 값에 일정한 비율(a1)만큼의 가중치를 더한 값으로 결정됩니다.
  • 입력받은 시간 길이에 대해 랜덤 시계열 데이터를 생성한 후, AR(1) 모형을 적용하여 자기상관이 있는 데이터를 생성합니다. 이 때, 시드값을 설정하여 랜덤성을 제어할 수 있습니다.

Autocorrelation Plot 1

series = autocorrelation_1(time, amplitude, seed = RANDOM_SEED)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:200], series[:200], color = "red")
plt.title("Autocorrelation Plot - 1", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide7

  • 위 코드는 시계열 데이터에서 자기상관성(autocorrelation)을 가지는 시계열 데이터를 생성하는 함수를 사용해, 그 데이터를 시각화하는 코드입니다.
  • ‘autocorrelation_1’ 함수는 주어진 시간대(time)에 따라, 시드(seed) 값에 의해 결정되는 무작위 노이즈 값에 대한 자기상관성을 가지는 시계열 데이터를 생성합니다. 이 때, 자기상관성 계수는 a1 = 0.5, a2 = -0.1 로 지정됩니다.

Autocorrelation Plot 2

series = autocorrelation_2(time, amplitude, seed = RANDOM_SEED)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:200], series[:200], color = "red")
plt.title("Autocorrelation Plot - 2", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide8

  • ‘autocorrelation_2()’ 함수는 강한 양의 자기상관관계를 가진 자료를 생성합니다. 이 함수는 랜덤 생성된 값에 이전 시점의 값에 일정한 비율만큼을 더해줌으로써 자기상관관계를 만듭니다.

Autocorrelation + Trend

Combined plot for Autocorrelation and trend together

amplitude = 10
slope = 2
series = autocorrelation_1(time, amplitude, seed = RANDOM_SEED) + trend(time, slope)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_Series(time[:200], series[:200], color = "red")
plt.title("Autocorrelation + Trend Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide9

Autocorrelation + Seasonality + Trend

combined plot for Autocorrelation, seasonality and trend together

amplitude = 10
slope = 2
series = autocorrelation_1(time, amplitude, seed = RANDOM_SEED) + seasonality(time, period = 50, amplitude = 150) + trend(time, slope)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:300], series[:300], color = "red")
plt.title("Autocorrelation + Seasonality + Trend Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide10

Autocorrelation + Seasonality + Noise + Trend

Combined plot for Autocorrelation, seasonality, noise and trend together

amplitude = 10
slope = 2
series = autocorrelation_1(time, amplitude, seed = RANDOM_SEED) + seasonality(time, period = 50, amplitude = 150) + trend(time, slope)
series += white_noise(time, noise_level = 100)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:300], series[:300], color = "red")
plt.title("Autocorrelation + Seasonality + Noise + Trend Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide11

Break Point

Break Point Plot at time = 200

Combined plot for Autocorrelation, seasonality, noise, trend and break point together

amplitude1 = 10
amplitude2 = 5
slope1 = 2
slope2 = -2
series1 = autocorrelation_2(time, amplitude1, seed = RANDOM_SEED) + seasonality(time, period = 50, amplitude = 150) + trend(time, slope1)
series2 = autocorrelation_2(time, amplitude2, seed = RANDOM_SEED) + seasonality(time, period = 50, amplitude = 2) + trend(time, slope2) + 750 + white_noise(time, 30)
series1[200:] = series2[200:]
series1 += white_noise(time, noise_level = 100, seed = RANDOM_SEED)
plt.figure(figsize = (20, 6))
plot_series(time[:300], series1[:300], color = "indigo")
plt.axvline(x = 200, color = "black")
plt.title("Autocorrelation + Seasonality + Noise + Trend + Break Point Plot", fontdict = {'fontsize' : 20})
plt.show()

Beginners-Guide12

  • 이 코드는 여러 가지 시계열 패턴을 조합한 시계열 데이터를 생성하고 이를 시각화하는 코드입니다.
  • 첫 번째 시계열 series1은 autocorrelation_2 함수를 이용하여 생성됩니다. 이 함수는 이전 시간 단계의 값을 현재 값에 더하는 자기회귀(AR)모형을 사용합니다. 이를 통해 시계열 데이터 내에서 관측치 간의 자기 상관관계를 가지게 됩니다.
  • 두 번째 시계열 series2는 동일한 방법으로 생성됩니다. 다만, amplitude와 slope의 값이 다르며, 이후에 series1과 연결됩니다.
  • 두 시계열에는 seasonality와 noise 가 추가됩니다. seasonality는 주기적인 패턴을 가진 반복 요소입니다. 이를 위해 period와 amplitude를 조절할 수 있습니다. noise는 white_noise 함수를 이용하여 생성합니다. 이는 임의로 생성된 값들로 시계열 데이터에 무작위로 더해집니다. 이를 통해 데이터 내에서 불규칙한 변동성을 가지게 됩니다.
  • 마지막으로, 두 시계열을 결합합니다. 200번째 시간 단계를 기준으로 series1의 데이터가 series2로 교체됩니다. 이를 통해 breakpoint가 추가됩니다.

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참고